Rozłożyć złożoną transformację macierzy na serię prostych transformacji?

Question

Ciekawe, jeśli jest to możliwe (i, jeśli jest to w jaki sposób) w celu ponownego obecny dowolnej transformacji matrycy M3 sekwencji prostszych przemian (jak tłumaczyć skali, pochylanie, obracanie)

Innymi słowy jak obliczyć MTranslate, MScale, MRotate, MSkew matryce z MComplex tak, że następujące równanie byłoby prawdziwe:

MComplex = MTranslate * MScale * MRotate * MSkew (lub w innej kolejności)

Answer 1

Singular Value Decomposition (patrz także this blog i ten PDF). Obraca dowolną macierz w skład 3 macierzy: ortogonalnej + przekątnej + ortogonalnej. Macierze ortogonalne są macierzami rotacyjnymi; macierz diagonalna przedstawia pochylenie wzdłuż osi początkowych = skalowanie.

Tłumaczenie rzuca w grę klucz do gry małpy, ale powinieneś wyjąć część tłumaczenia z macierzy, aby mieć matrycę 3x3, uruchomić SVD, aby dać rotację + pochylenie, a następnie dodać tłumaczenie z powrotem. W ten sposób będziesz miał rotację + skalę + obrót + przetłumacz skład 4 macierzy. Prawdopodobnie można to zrobić w 3 macierzach (obrót + skalowanie wzdłuż jakiegoś zbioru osi + tłumaczenie), ale nie jestem do końca pewien jak ... może rozkład QR (Q = ortogonalny = obrót, ale nie jestem pewien czy R jest tylko pochyleniem lub ma część obrotową.)

Answer 2

Tak, ale rozwiązanie nie będzie wyjątkowe. Ponadto należy raczej umieścić tłumaczenie na końcu (kolejność reszta nie ma znaczenia)

Dla każdej macierzy kwadratowej A istnieje nieskończenie wiele macierze B i C więc tym A = B*C. Wybierz dowolną odwracalną matrycę B (co oznacza, że ​​istnieje B^-1 lub det (B)! = 0), a teraz C = B^-1*A.

Więc dla twojego rozwiązania najpierw rozłącz MC na MT i MS*MR*MSk*I, wybierając MT jako jakąś odwracalną macierz transpozycji. Następnie rozpakuj resztę na MS i MR*MSk*I, aby MS było dowolną macierzą skalowania. I tak dalej ...

Teraz, gdy na końcu zabawy I jest matrycą tożsamości (z 1 na przekątnej, 0 gdzie indziej) jesteś dobry. Jeśli tak nie jest, zacznij od nowa, ale wybierz inną macierz ;-)

W rzeczywistości, używając powyższej metody, możesz utworzyć zestaw równań, które dadzą ci sparametryzowane formuły dla wszystkich tych macierzy.

Jak przydatne będą te dekompozycje dla Ciebie, cóż - to już inna historia.

Jeśli wpiszesz to pod Mathematica lub Maxima oni obliczyć to dla ciebie w krótkim czasie.