Problem z obliczaniem wartości własnych za pomocą matematyki

Question

Zasadniczo próbuję znaleźć wartości własne dla matrycy, a to zajmie około 12 godzin. Kiedy się kończy, mówi, że nie może znaleźć wszystkich wektorów własnych (właściwie prawie żadnych) i jestem sceptycznie nastawiony do tych, które znalazł. Jedyne, co naprawdę mogę zrobić, to opublikować mój kod i mam nadzieję, że ktoś może mi coś zasugerować. Nie mam zbyt dużego doświadczenia z matematyką, a być może powolny bieg i złe wyniki mają coś wspólnego ze mną, a nie z matematyką. Dziękuję każdemu, kto odpowiada, naprawdę to doceniam.

cutoff = 500; (* set a cutoff for the infinite series *) 
numStates = cutoff + 1; (* set the number of excited states to be printed *) 
If[numStates > 10, numStates = 10]; 

    $RecursionLimit = cutoff + 256; (* Increase the recursion limit to allow for the specified cutoff *) 
(* set the mass of the constituent quarks *) 
m1 := mS; (* just supposed to be a constant *) 
m2 := 0; 

(* construct the hamiltonian *) 
h0[n_,m_] := 4 Min[n,m] * ((-1)^(n+m) * m1^2 + m2^2); 

v[0,m_] := 0; 
v[n_,0] := 0; 
v[n_,1] := (8/n) * ((1 + (-1)^(n + 1))/2); 
v[n_,m_] := v[n - 1, m - 1] * (m/(m - 1)) + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2); 

h[n_,m_] := h0[n,m] + v[n,m]; 

(* construct the matrix from the hamiltonian *) 
mat = Table[h[n,m], {n, 0, cutoff}, {m, 0, cutoff}] // FullSimplify; 

(* find the eigenvalues and eigenvectors, then reverse the order *) 
PrintTemporary["Finding the eigenvalues"]; 
{vals, vecs} = Eigensystem[N[mat]] // FullSimplify; 

$RecursionLimit = 256; (* Put the recursion limit back to the default *) 

Jest trochę więcej mojego kodu, ale jest to punkt, w którym to naprawdę spowalnia. Muszę zdecydowanie wspomnieć, że jeśli ustawię m1 i m2 na zero, tak naprawdę nie mam żadnych problemów, ale ustawienie m1 na stałą sprawia, że ​​wszystko idzie do piekła.

Answer 1

Twój problem polega na tym, że stała mS pozostaje symboliczna. Oznacza to, że Mathematica próbuje analitycznie rozwiązać dla wartości własnych zamiast liczbowo. Jeśli Twój problem pozwala wybrać wartość liczbową dla mS, powinieneś to zrobić.

Drugi, niepowiązane, problem masz jest, że używasz rekurencyjnego wzoru i chcesz używać, np memoization w poniższej linii

v[n_, m_] := v[n, m] = v[n - 1, m - 1]*(m/(m - 1)) 
        + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2); 

Extra v[n, m] = przechowuje wartości dla danej n i m, więc nie musisz powtarzać aż do v[0,0] za każdym razem, gdy h[n, m] jest wywoływana w Table[].

Z tymi dwoma rzeczami, którymi się opiekowałeś, mój stary core 2 duo zajmuje mniej niż minutę, aby wykonać wartości własne.

Answer 2

Jest to kontynuacja odpowiedzi Timo. Chciałbym pokazać figurę, więc umieszczam ją jako odpowiedź zamiast komentarza.

Biorąc pod uwagę, że chcesz znaleźć wartości własne macierzy, która ma elementy symboliczne 501 x 501. [BTW nazywasz je stałymi, ale to jest mylące. Stałe są po prostu zdefiniowane, ustalone wartości z nazwą. To, co opisałeś w swoim komentarzu w odpowiedzi Timo, jest zmienną symboliczną.]

Dobrze jest zobaczyć, co w pełni symboliczna macierz robi dla obliczeń Wartości Własności. To jest 2 x 2 Matrix

Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues 

(* ==> 
{1/2 (f[1, 1]+f[2, 2]-Sqrt[f[1, 1]^2+4f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2]), 
1/2(f[1, 1]+f[2, 2]+Sqrt[f[1, 1]^2+4 f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2])} 
*) 

Zajmuje Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues//ByteCount = 3384 bajtów. To eksploduje dość szybko: rozwiązanie 7x7 zajmuje już 70 MB (znalezienie tej zajmuje kilka minut). W rzeczywistości nie jest miły związek można znaleźć między wielkością matrycy i liczby bajtów:

Zainstalowane Funkcja Ilość bajt = E^(2,2403067075863197 + 2,2617380321848457 x rozmiar matrycy).

Jak widać, wartości własne matrycy 501 x 501 nie zostaną znalezione przed końcem wszechświata.

[BTW jaki jest zaborczy forma matrycy?]