Rozwiąż powtarzalność formy p [n, m] == p [n, m-2] + p [n-1, m-1] + p [n-2, m]

Question

Próbuję rozwiązać (znaleźć rozwiązanie zamkniętej formy) tę Kalkulator ryzyka (OR) równanie rekurencyjne:

p[n,m] == 2890/7776*p[n,m-2] + 2611/7776*p[n-1,m-1] + 2275/7776*p[n-2,m], 
p[n,1] == 855/1296 + 441/1296*p[n-1,1], 
p[3,m] == 295/1296*p[3,m-2] + 420/1296*p[2,m-1], 
p[2,m] == 55/216, 
p[1,m] == 0 

funkcja RSolve Mathematica nie działa (jestem pewien, że używam właściwą składnię z , ponieważ Obserwuję dwa zmienne przykłady pod adresem http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/RSolve.html).

W rzeczywistości RSolve nie będzie nawet rozwiązać ten „prostszy” rekursji:

p[n,m] == p[n,m-2] + p[n-1,m-1] + p[n-2,m], 
p[0,m] == 1, 
p[1,m] == 1, 
p[n,1] == 1, 
p[n,0] == 1 

jest coś fundamentalnie trudno o rozwiązywaniu tego typu równanie rekurencyjne lub jest Mathematica prostu łuszcząca?

Dokładna przykład używam:

RSolve[{ 
p[n,m] == p[n,m-2] + p[n-1,m-1] + p[n-2,m], 
p[0,m] == 1, 
p[1,m] == 1, 
p[n,1] == 1, 
p[n,0] == 1 
}, p[n,m], {n,m}] 

Zwracana wartość jest taka sama jak mojego wejścia, aż do pewnego numeru żonglerki.

Na stronie doc, to pod „Zakres”, a następnie „równań różnicę”

Answer 1

Disclaimer: Wiem tylko trochę algebry liniowej i jakiś rachunek. Nic nie wiem o Wolframie.

Możliwe, że jest w tym coś fundamentalnie ciężkiego. Przykłady, z którymi łączysz się, są łatwiejsze niż twoje. Na przykład, wygląd w tym przykładzie:

RSolve[a[m + 1, n] - 3/4 a[m, n + 1] == 0, a[m, n], {m, n}] 

Wszystkie A [m, n] są w linii prostej, m + n = K o pewnej stałej K. Tak jak powiedz, że znasz [10,5]. Z tego można obliczyć [11,4], [12,3] itd. Ale wszystkie są na linii prostej. Dlatego wyjście zawiera pewną funkcję m + n. Można ponownie zapisać go z tylko jednej zmiennej i uzyskać ten sam efekt:

RSolve[{a[m + 1] - 3/4 a[m] == 0, m+n=k}, a[m], {m, n}] 

Wszystkie przykłady w tym linkiem znajdują się na linii prostej, too. Dla każdego [m, n], które musisz znać, n jest zawsze funkcją m. Wszystko z tej formy jest łatwe do rozwiązania za pomocą macierzy liniowych algebry. (Daj mi znać, jeśli chcesz wiedzieć, jak to zrobić.)

Dla Ciebie jednak tak nie jest. Twoja rozwija się jak drzewo, a nie jak linia. Myślę, że , że może być trudność.

To przypomina mi różnicę między pochodnymi cząstkowymi a pochodnymi całkowitymi. To może być dobry punkt wyjścia.

Answer 2

... tylko moje dwa centy, ale czy ten układ równań nie jest wadliwy? tj .:

p[n,m] == 2890/7776*p[n,m-2] + 2611/7776*p[n-1,m-1] + 2275/7776*p[n-2,m] 

Na przykład, spróbujmy obliczyć p [n, 2]:

p[N,2] = 2890/7776*p[N,0] + ... 
     = 2890/7776*2890/7776*p[N,-2] + ... 
     = ... p[N,-4] + ... 

Chyba masz mój punkt widzenia. Nigdy nie osiągnie stanu początkowego nawet dla m. samo dla:

p[3,m] == 295/1296*p[3,m-2] + ... 

na przeciwległym, nigdy nie będzie używany Początkowy stan p[1,m] == 0. Być może dodanie definicji p [n, 0] lub p [n, 2] rozwiąże problem, czyniąc go dobrze zdefiniowanym.