Prosty algorytm do generowania macierzy dodatnio-półwymiarowych

Question

Chcę generować dodatnie przypadkowe, pół-określone macierze. Szukam algorytmu lub, bardziej korzystnie, prostej implementacji algorytmu w C, matlab, java lub dowolnym języku.

Answer 1

1. generowania losowych macierz
2. pomnożyć przez jego własnym transpozycji
3. uzyskaniu pozytywnego pół określony matrycy.

Przykładowy kod (Python):

from scipy import random, linalg 
matrixSize = 10 
A = random.rand(matrixSize,matrixSize) 
B = numpy.dot(A,A.transpose()) 
print 'random positive semi-define matrix for today is', B 

Answer 2

Jeśli można wygenerować losowy matrycy w twoim języku, a następnie za pomocą właściwości, że macierz pomnożona przez jej transponowania jest pozytywny naczepa definte, ty może wygenerować losowy dodatnią pół-definitywna Matix

W Matlab byłoby tak proste, jak

% Generate a random 3x3 matrix 
    A = rand(3,3) 
% Multiply by its tranpose 
    PosSemDef = A'*A 

Answer 3

trzeba być jasne w swojej definicji "losowy". Jakie są twoje ograniczenia na wynikowej macierzy? Czy chcesz, aby współczynniki były równomiernie lub normalnie dystrybuowane? Czy chcesz, aby wartości własne miały konkretną dystrybucję? (Itd.)

Istnieje szereg sposobów generowania dodatnich półokreśloną macierzy M ', w tym:

1. przypisano arbitralną macierzy A, obliczyć K = a ^T A (budowy Cholesky decomposition)
2. względu dowolną macierzą diagonalną S z nieujemne ukośnych pozycji, oraz Q matrycy ortonormalną o tej samej wielkości, obliczyć K = QSQ ^T (budowy singular value decomposition)

Ze względów numerycznych prawdopodobnie wybrałbym drugie podejście, generując macierz diagonalną o pożądanych właściwościach, a następnie generując Q jako kompozycję o numerze Householder reflections (generuję losowy wektor v, skalę do długości jednostki, H = I - 2vv ^T); Podejrzewam, że chciałbyś użyć K * N, gdzie N jest rozmiarem macierzy M, a K to liczba pomiędzy 1,5-3 (zgaduję na tym), która zapewnia, że ​​ma wystarczającą stopnie swobody.

Można również wygenerować ortonormalną macierz Q przy użyciu Givens rotations: wybrać 2 różne wartości od 1 do N i wygenerować obrót Dając o tej parze osi, z kątem równomiernie rozłożonym od 0 do 2 * pi. Następnie wziąć k * N z nich (tak samo rozumowanie jak powyżej ust) oraz ich kompozycja daje Q.

edit: ja bym odgadnąć (nie jestem pewien), że jeśli mają współczynniki, które są generowane niezależnie i rozkład normalny, wtedy matryca jako całość byłaby "normalnie rozprowadzana" (cokolwiek to znaczy). Dotyczy to przynajmniej wektorów. (N niezależnie wygenerowanych zmiennych losowych Gaussa, po jednym dla każdego komponentu, daje losowy wektor Gaussa). Nie jest to prawdą dla jednorodnie rozproszonych komponentów.

Answer 4

Naturalne rozkłady na dodatnich macierzach pół -kończonych to Wishart distributions.

Answer 5

A '* A da dodatnią matrycę półpokrytową iff i tylko jeśli A ma niedobór rang.Tak więc powyższe odpowiedzi i skopiowane z wikipedii nie są ogólnie prawdziwe. Aby obliczyć dodatnią macierz pół -kończoną, po prostu weźmy dowolną prostokątną m przez n macierz (m < n) i pomnóżmy ją przez jej transpozycję. To znaczy. jeśli B jest macierzą m na n, z m < n, wówczas B '* B jest macierzą pół -kończoną. Mam nadzieję, że to pomoże.