Jak rozwiązać równanie różniczkowe za pomocą wbudowanej funkcji Python odint?

Question

Chcę rozwiązać ten Równania różniczkowe z podanymi warunkami początkowymi:

(3x-1)y''-(3x+2)y'+(6x-8)y=0, y(0)=2, y'(0)=3 

ANS powinny być

y=2*exp(2*x)-x*exp(-x)

tutaj jest mój kod:

def g(y,x): 
    y0 = y[0] 
    y1 = y[1] 
    y2 = (6*x-8)*y0/(3*x-1)+(3*x+2)*y1/(3*x-1) 
    return [y1,y2] 

init = [2.0, 3.0] 
x=np.linspace(-2,2,100) 
sol=spi.odeint(g,init,x) 
plt.plot(x,sol[:,0]) 
plt.show() 

ale co mam różni się od odpowiedzi. co zrobiłem źle?

Answer 1

Jest kilka rzeczy nie w porządku. Po pierwsze, twoje równanie jest najwyraźniej

(3x-1) y '' - (3x + 2) y '- (6x-8) y = 0; y (0) = 2, y '(0) = 3

(należy zwrócić uwagę na znak terminu w y). W tym równaniu twoje rozwiązanie analityczne i definicja y2 są poprawne.

drugie, jak mówi @Warren Weckesser, należy zdać 2 parametry jak y do g: y[0] (Y) y[1] (y ') i ponownie ich pochodne, Y' i Y ''.

Po trzecie, twoje początkowe warunki są podane dla x = 0, ale twoja x-siatka do włączenia przy zaczyna się od -2. Z Dokumenty na odeint tego parametru, t w opisie sygnatury połączyć:

odeint(func, y0, t, args=(),...):

T: Tablica Sekwencja punktach czasowych, dla których rozwiązania dla R. Początkowy punkt wartości powinien być pierwszym elementem tej sekwencji.

Musisz więc zintegrować zaczynając od 0 lub podać początkowe warunki zaczynające się od -2.

Wreszcie, zakres integracji obejmuje osobliwość na poziomie x = 1/3. odeint może mieć tu zły czas (ale najwyraźniej nie ma).

Oto jedno podejście, które wydaje się działać:

import numpy as np 
import scipy as sp 
from scipy.integrate import odeint 
import matplotlib.pyplot as plt 

def g(y, x): 
    y0 = y[0] 
    y1 = y[1] 
    y2 = ((3*x+2)*y1 + (6*x-8)*y0)/(3*x-1) 
    return y1, y2 

# Initial conditions on y, y' at x=0 
init = 2.0, 3.0 
# First integrate from 0 to 2 
x = np.linspace(0,2,100) 
sol=odeint(g, init, x) 
# Then integrate from 0 to -2 
plt.plot(x, sol[:,0], color='b') 
x = np.linspace(0,-2,100) 
sol=odeint(g, init, x) 
plt.plot(x, sol[:,0], color='b') 

# The analytical answer in red dots 
exact_x = np.linspace(-2,2,10) 
exact_y = 2*np.exp(2*exact_x)-exact_x*np.exp(-exact_x) 
plt.plot(exact_x,exact_y, 'o', color='r', label='exact') 
plt.legend() 

plt.show()